1. Vorlesung 21. 4. 2017

Allgemeines Ziel: Klassifiziere und konstruiere simpliziale Flächen aus kongruenten Dreiecken.

Beachte: Die simplizialen Flächen werden weniger vom topologischen als vom geometrischen Standpunkt aus betrachtet.

Zum Begriff der simplizialen Fläche (Einzelheiten später):
  1. kombinatorisch

  2. als abstrakte lokal-Euklidische, stückweise lineare Mannigfaltigkeiten

  3. eingebettet oder immersiert in den dreidimensionalen Euklidischen Raum

Vielleicht nur einen vagen Komentar zu 2.): Stückwiese linear bedeutet, dass die Koordinatenumrechnungen der zulässigen Koordinatensysteme durch affine Abbildungen induziert sind. Der Begriff lokal-Euklidisch schränkt diese affinen Abbildungen zu Isometrien im Euklidischen Sinne ein. Wir lassen jedoch endlich viele Ausnahemepunkte, sogenannte Singularitäten zu.

Verwendete Methoden:
  1. algorithmische Gruppentheorie

  2. diverse Methoden zum Lösen algebraischer Gleichungssysteme

  3. Visualisierung z. T. mit numerisch-geometrischer Software

  4. kombinatorische Methoden

  5. geometrische Methoden

  6. lineare Algebra

  7. Origami

Sie sehen an dieser Liste, dass dies keine Vorlesung ist, bei der Sie eine bestimmte Methode präsentiert bekommen, sondern Sie sehen ein Spektrum von Methoden in der Anwendung. Diese Vorlesung versteht sich auch nicht als ein Friedhofsbesuch, wo eine abgeschlossene Theorie zelebriert wird, sondern ist Ausfluss aktueller Forschung, die noch nicht zum Abschluss gekommen ist. Aktiv beteiligt an diesem Projekt sind A. Niemeyer, W. Plesken, K.-H. Brakhage, D. Robertz, A. Strzelczyk und noch einige andere, wie z. B. M. Baumeister, B. Niehenke, M. Wisotzky, die mit verwandten Projekten beschäftigt sind.

Um konkret zu werden, möchte ich heute das Ikosaeder behandeln. Beim Wort Ikosaeder denkt man normalerweise an den Platonischen Körper aus 20 gleichseitigen Dreiecken gebildet, welcher konvex ist und eine $C_2\times A_5$ als Euklische Automorphismengruppe hat. Zu dem Namen Platonische Körper sei angemerkt, dass die Steinzeitkultur, die Stonehenge hinterlassen hat, auch bereits alle Platonischen Körper kannte. Wir wollen auf zweierlei Weisen heute über die Steinzeit hinausgehen:

  1. Wir belassen die Seiten als gleichseitige Dreicke, verzichten aber auf die Konvexität und lassen sogar Durchdringungen zu (Immersion statt Einbettung).

  2. Wir lassen beliebige Dreiecke als Seiten zu, verlangen aber dass je zwei kongruent sind.

Ich beginne mit dem zweiten Punkt, werde mich aber anschließend heute auf den ersten Punkt konzentrieren.

Konstruktion aus vier Dreiecken

Man nehme vier kongruente Kopien eines Dreiecks (zur besseren Unterscheidung in verschiedenen Farben). Durch Verbindung der drei Seitenmittelpunkte unterteile man jedes der Dreiecke in vier kleinere Dreiecke, die allesamt kongruent sind und ähnlich zu dem Ausgangsdreieck.

Man füge die Dreiecke versetzt zusammen unter Beachtung folgender Regeln:
  • Jedes Dreieck ist mit drei Nachbardreiecken verheftet, sodass jeweils eine halbe Kante frei bleibt und die andere Hälfte der Kanten verklebt werden.

  • Die verhefteten Halbkanten sind Außenkanten jeweils eines kleinen Dreiecks. Die andere äußere Kante des kleinen Dreiecks bleibt unverheftet.

  • Die Art und Weise der Verheftung ist wie folgt: Man lege die beiden Dreiecke deckungsgleich übereinander, drehe das obere der Dreiecke um 180 Grad um den Mittelpunkt der Seite des kleinen Dreicks, wo die Verheftung vorgenommen werden soll, und verhefte dann die beiden Seiten der kleinen Dreiecke, die jetzt zusammenstoßen.

  • Jedes Dreieck ist auf diese Weise mit jedem anderen Dreieck verheftet.

  • Die frei bleibenden Halbkanten bilden ihrerseits vier kleine Dreiecke.

Das Ergebnis sollte wie folgt sein:
  • Jedes der vier Dreiecke steuert vier kleine Dreiecke zu dem Ikosaeder bei, sodass man 16 kleine Dreiecke hat, die allesamt Ikosaederseiten sind.

  • Je drei der vier Dreiecke umranden ein weiteres kleines Dreieck, sodass man insgesamt 4 offene Dreiecke als Ikosaederseiten bekommt.

  • Waren die ursprünglichen Dreiecke gefärbt, so hat man jeweils vier zusammenhängende Dreiecke von einer Farbe sowie vier Dreiecke, die nur durch ihren Rand gekennzeichnet, nicht ausgefüllt und nicht zusammenhängend sind.

Hier sind Modelle aufgebaut aus gleichseitigen bzw. gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken. Wir werden später auf allgemeine Ikosaeder zurückkommen.

Diagramm
Figure 1. Diagramm Ikosaeder aus vier farbigen Dreicken aufgebaut

Ikosaeder aus gleichseitigen Dreicken

Für den Rest der Zeit möchte ich mich heute den Ikosaedern aus gleichseitigen Dreiecken widmen. Damit sind wir beim Dritten der Punkte, die oben bei simplizialen Flächen aufgelistet wurden, genauer bei Immersionen. D. h., wir lassen Durchdringungen zu, bestehen aber darauf, dass die zwölf Dreiecke paarweise verschieden sind. Hier ist ein Modell für das regelmäßige Ikosaeder, bei dem die Ecken der Dreiecke großzügig abgeschnitten sind. Aus diesem bekommt man durch Eindrücke einer Ecke eine weiterere Einbettung, wie man am nächsten Modell sieht.

Diagramm
Figure 2. Diagramm Ikosaeder
Diagramm
Diagramm
Diagramm
Diagramm

Übung: Zeige, dass Eindrücken einer Ecke ist möglich, sobald die 5 benachbarten Vertizes komplanar sind.

Satz S: Bis auf Isometrie gibt es fünf Ikosaeder aus gleichseitigen Dreiecken der Kantenlänge 1, welche aus dem regelmäßigen Ikosaeder durch Eindrücken von Ecken hervorgehen. Die Symmetriegruppen dieser Ikosaeder sind

Einige dieser Ikosaeder habe ich oben an einem Papiermodell, bei dem die Spitzen der Dreiecke so abgeshnitten sind, dass die verbleibenden Papierflächen regelmäßige Sechsecke sind. Es ist nämlich so, dass nur die ersten beiden Ikosaeder ohne Durchdringung sind, während alle anderen Durchdringungen haben.

Übung: Welche der obigen Ikosaeder sind chiral, also nicht eigentlich isometrisch zu ihrem Spiegelbild?

Dieser Satz ist sehr elementar und braucht wenig Theorie. Ein erstes Teilziel (welches wir noch nicht erreicht haben) dieses Projektes ist es, alle Ikosaeder aus gleichseitigen Dreiecken bis auf Isometrie zu bestimmen. Ich schreibe dies als Vermutung auf:

Vermutung: Es gibt 36 Isometrieklassen von Ikosaedern der Kantenlänge 1, und zwar spaltet diese Anzahl sich nach Ordnungen der Isometriegruppen (in Klammern) wie folgt auf:

  • 2 (120), 4 (20), 2 (12), 3 (10), 2 (6), 6 (4), 15 (2), 2, (1)

Der Begriff Isometriegruppe bezieht sich in diesem Kontext auf Isometrien, die durch Bewegungen des umgebenden Euklidischen Raumes induziert sind, denn die Isometriegruppen im Sinne der abstrakten lokal-Euklidischen Mannigfaltigkeiten sind alle gleich unserer $C_2\times A_5$.

Die Evidenz für diese Vermutung basiert auf eine Rechnung mit dem halbnumerischen Programm BERTINI
[Numerically solving polynomial systems with Bertini, by Daniel J. Bates, Jonathan D. Hauenstein, Andrew J. Sommese, and Charles W. Wampler, Software, Environments, and Tools, Vol. 25, SIAM]
, welches eine Homotopie-Methoden zum Lösen gewisser algebraischer Gleichungssysteme über dem komplexen Zahlkörper ist. Die Gleichungen, die mit BERTINI gelöst wurden sind einfach die Gleichungen, die die Quadratlänge der Kanten des Ikosaeders auf Eins setzen, nachdem man die ersten drei Vertizes im $\R^3$ festgelegt hat. An dieser Stelle möchte ich den eigentlich sehr selbstverständlichen Hinweis nicht unterdrücken, dass die Arbeit mit Quadratlängen das Rechnen mit dem Computer sehr erleichtert.
[Inzwischen gibt es sogar eine Theorie unter dem Namen "rationale Trigonometrie", welche in dem sehr elementaren, aber lesenswerten Buch N J Wildberger: Divine proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry (sowie in vielen Internetvideos des Autors) dargelegt ist.]
Diese Gleichungen für die restlichen Vertizes - man geht von ebensovielen Gleichungen wie Unbekannten aus - liefern dann mehrere tausend Lösungen in Gleitkommazahlen. Es ist nicht einfach ein Zertifikat zu bekommen, dass man alle Lösungen hat. Jedenfalls reicht der Output, um die Isometriegruppen zu bestimmen, um dann zu der obigen Vermutung zu kommen. Frau Niemeyer hat ein GAP-Paket erstellt, welches unter vielen anderen Dingen im Kontext der simplizialen Flächen auch die Automorphismengruppen unserer Strukturen bestimmen und benutzen kann. Der numerische Output ist vom algebraischen Standpunkt aus natürlich nur von eingeschränktem Wert. Deshalb versuchen wir die diese Gleitkommazahlen durch exakte algebraische Zahlen zu ersetzen. In MAPLE gibt es eine Routine, die auf dem LLL-Algorithmus basiert und Vorschläge für Kandidaten dieser algebraischen Zahlen macht. Schon die einfacheren Beispiele haben uns gezeigt, dass man frühestens ab 40 Nachkommastellen diese Vorschläge anfangen kann, ernstzunehmen. Obwohl man bei BERTINI die Genauigkeit vorgeben kann, hilft dies nur bedingt, weil es sich eben nur um Vorschläge handelt, die keinen Beweischarakter haben. Ich möchte daher einen alternativen Zugang darstellen, der unser Programmpaket INVOLUTIVE benutzt, aber sehr aufwändig ist.

Ein für alle Male müssen wir die kombinatorische Struktur unseres Ikosaeders für alle folgenden Rechnungen festlegen. Dies geschieht durch das etwas längliche Symbol:

[ 12, 30, 20,
[[1,2], [1,3], [2, 3], [ 1, 4], [2, 4], [1, 5], [4, 5], [5, 6], [ 1, 6], [ 3, 6],
 [2,7], [3,7], [2, 8], [ 4, 8], [4, 9], [5, 9], [5,10], [6,10], [ 6,11], [ 3,11],
 [7,8], [8,9], [9,10], [10,11], [7,11], [8,12], [7,12], [9,12], [10,12], [11,12]],
[[  1,  2,  3], [  1,  4,  5 ], [  4,  6,  7 ], [  6,  8,  9 ], [  2,  9, 10 ],
 [  3, 11, 12], [  5, 13, 14 ], [  7, 15, 16 ], [  8, 17, 18 ], [ 10, 19, 20 ],
 [ 11, 13, 21], [ 14, 15, 22 ], [ 16, 17, 23 ], [ 18, 19, 24 ], [ 12, 20, 25 ],
 [ 21, 26, 27], [ 22, 26, 28 ], [ 23, 28, 29 ], [ 24, 29, 30 ], [ 25, 27, 30 ] ] ]

welches folgendes aussagt: Wir haben 12 Ecken, 20 Kanten und 20 Seiten (als Dreiecke). Diese Objekte sind jeweils durchnummeriert von 1 bis 12 bzw. 30 bzw. 20. Das i-te Paar in der Liste gibt uns die Nummern der Endpunkte der i-ten Kante an. Das i-te Tripel in der Liste [[ 1, 2, 3], .. , [ 25, 27, 30 ] ] gibt uns die Nummer der Kanten des i-ten Dreiecks an.

Fingerübung: Gib die Liste der Ecken der 12 Seiten an.

Der Grund für diese etwas umständliche Notation liegt im Origami und wird später klar werden, wenn verschiedene Kanten oder Dreiecke dieselben Eckenmengen haben können. Das folgende Diagramm enthält ebenfalls die wesentliche Information bei Unterdrückung der Kantennummern.

Diagramm
Figure 3. Diagramm Ikosaeder

Zum Verständnis der Geometrie und der Gleichungen ist der folgende Begriff hilfreich.

Definition: Die orthogonale Diagonale einer Kante [i,j] mit Eckenmenge {i,j} des Ikosaeders ist das Paar [k,l], wobei {i,j,k} und {i,j,l} die Eckenmengen der beiden Dreiecke sind, die die Kante [i,j] gemeinsam haben.

Man überzeugt sich leicht, dass die Liste der orthogonalen Diagonalen der Kanten des Ikosaeders in der Reihenfolge der Kanten von oben gegeben ist durch:

[ [3, 4], [2, 6], [1, 7], [ 2, 5], [1, 8], [4, 6], [1, 9], [1,10], [ 5, 3], [ 1,11],
  [3, 8], [2,11], [4, 7], [ 2, 9], [5, 8], [4,10], [6, 9], [5,11], [ 3,10], [ 6, 7],
  [2,12], [4,12], [5,12], [ 6,12], [3,12], [7, 9], [8,11], [8,10], [ 9,11], [10, 7] ]

Die Quadratlängen dieser orthogonalen Diagonalen werden ein Schlüssel zur Festlegung des Isometrietyps eines Ikosaeders sein. Die nächstliegende Frage ist nun, wie wir den Isometrietypen der Ikosaeder notieren, genauer wie wir die Operation der Bewegungsgruppe des $\R^3$ aus der Koordinatendarstellung herausfaktorisieren. Dies geschieht durch die Gram-Matrix eines Ikosaeders.

Definition: Die Gram-Matrix des Ikosaeders bezüglich des ersten Vertex V_1ist gegeben durch

$(\phi (V_i-V_1, V_j-V_1)_{1<=i,j<=12} \in \R^{12 \times 12} $

und bezüglich des Schwerpunktes $S:=1/12 \sum V_i$ durch

$(\phi (V_i-S, V_j-S)_{1<=i,j<=12} \in \R^{12 \times 12} $

wobei $\phi$ das Standardskalarprodukt der $\R^3$ bezeichnet. (Im Zweifelsfall soll Gram-Matrix immer Gram-Matrix bezüglich des Schwerpunktes bedeuten.)

Beide Gram-Matrizen sind offenbar symmetrisch und positiv semidefinit vom Rang 3. Sie können leicht ineinander umgerechnet werden. Die erste Matrix eignet sich besser als die zweite zur Berechnung, die zweite ist instrinsischer als die erste und eignet sich besser zum Ablesen diverser Eigenschaften.

Was die Berechnung dieser Matrizen angeht, ist folgendes zu sagen: Wir haben $12*13/2=78$ Unbekannte zu bestimmen.Die 30 Gleichungen "Qudaratlänge der Kante =1" sind linear und reduziert die Anzahl der Unbekannten auf 48. Schließlich kommen noch 12 weitere lineare Gleichungen hinzu, die im ersten Fall die erste Zeile und Spalte Null setzen, sodass man am Ende 36 Unbekannte hat. Nun muss die Rangbedingung ins Feld geführt werden: Alle $4\times 4$-Minoren verschwinden. Dies sind Polynomgleichungen vom Grad 4, also nicht unbedingt das, wovon man ein schnelles und einfaches Lösungsverfahren erwarten würde.

Beispiel: Die Gram-Matrix für das reguläre Ikosaeder ist eine $12 \times 12$-Matrix, deren Diagonalwerte sämtlich gleich

$(5+sqrt(5))/8$

sind und deren übrigen Werte alle gleich

$+/- (1+sqrt(5))/8$

sind mit Ausnahme genau eines Eintrags pro Zeile und Spalte, welcher dann

$-(5+sqrt(5))/8$

ist. Damit ist klar, dass auch Skalieren nicht zu einem kleineren Körperr, also $\Q$, führen kann, über dem die Gram-Matrix realisiert werden kann.

Übung: Man zeige, dass die Gram-Matrizen der 4 durch Eindrücken von Ecken aus dem regelmäßigen

Satz: Die Einträge der Gram-Matrix einer skalierten Version des Ikosaeders erzeugen einen Körper, der den Körper erzeugt von den Einträgen der oben definierten Gram-Matrix enthält.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, dass die Quadratlängen der Kanten 1 sind.

Wir verstehen diesen Satz so, dass die Gram-Matrix uns einen Körper angibt, der in kanonischer Weise dem Ikosaeder zugeordnet ist. Nennen wir in Minimalkörper des Ikosaeders. uns überlegen, wie man den Ikosaeder aus seiner Gram-Matrix algebraisch konstruieren kann. Wir werden unsere Konstruktion so machen, dass die Koordinaten der Vektoren auch im Minimalkörper des Ikosaeders liegen. Will man den Koordinaten noch eine innere Bedeutung geben, kann man die Eigenwerte der Gram-Matrix zu diesem Körper adjungieren und mit den Eigenvektoren als Basis arbeiten. Oftmals liegen die Eigenwerte bereits in dem Minimalkörper.

Satz: Sei $M$ die Gram-Matrix eines Ikosaeders. Dann ergibt sich aus dem Minimalpolynom p von $M$ Koeffizienten $\alpha, \beta, \gamma \in K$, so dass $P:=\alpha M+\beta M2+\gamma M3$ eine Projektion auf das Bild von $M$ ist. Insbesondere ist $P$ selbstandungiert mit $PM=MP=M$. Weiter gilt:

  1. kann man das Bild von $P$ als drei-dimensionlen Vektorraum über dem Minimalkörper K von $M$ verstehen, in dem das zu $M$ gehörige Ikosaeder realisiert ist.

  2. Sind $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ die drei von Null verschiedenen Eigenwerte von $M$, so sind diese positiv und $K_1:=K(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ als Teilkörper von $\R$ liefert eine Eigenvektorbasis des Bildes von $P$ nach Skalarerweiterung mit $K_1$.

  3. Einer Orthogonalbasis (B_1,B_2,B_3) aus Eigenvektoren von $M$ entspricht einer Aufspaltung von $P$ in eine Summe

    $M=lambda_1E_1+\lambda_2E_2+\lambda_3E_3$ .

Übung: In welchem Sinne die Quadratlängen der Eigenraumkomponenten der Bilder der Standardbasisvektoren (oder kürzer: der Vertizes) Invarianten des Ikosaeders (bei vorgegebenen kombinatorischen Daten)? Warum ist eine "Ausgleichsgerade" der Menge der Vertizes nicht definiert, wenn die zwei größten Eigenwerte gleich sind? In welchem Sinne kann man die Eigenwerte als Formparameter der Vertexmenge ansehen?

Im Hinblick auf die Konstruktion von Ikosaedern bekommen wir durch eine sehr einfache Beobachtung bei den bereits diskutierten fünf Abkömmlingen des regulären Ikosaeders fünf weitere: In allen fällen war es so, dass in ihnen, so bleiben sie positiv.

Ikosaeder aus Satz S erhalten wir fünf weitere Ikosaeder mit denselben Automorphismengruppen.

Wir wollen diese 5 neuen Ikosaeder die Galois-Konjugierten der $S$-Ikosaeder nennen. Während die Durchdringungen der Dreiecke der S-Ikosaeder sehr überschaubar waren, sind sie in ihren Galois-Konjugierten eher verwirrend kompliziert, also ein sicheres Zeichen, dafür, dass sich die inneren Isometrien sich nicht stetig auf den ganzen $\R^3$ fortsetzen lassen. Um diese Durchdringungen nicht zu einem Hindernis der Anschaunung werden zu lassen oder uns gar zu dem Schluss verleiten lassen, dass die Ikosaeder mit Durchdrngungen uninteressant sind, wollen wir sie in folgender Weise visualisieren.

Visualisierung: Ersetze jedes Dreicke im Ikosaeder durch seinen Inkreis. Man erhält so eine Anordnung von 20 Kreisen im Raum, sodass jeder Kreis drei weitere berührt. Diese Berührungspunkte sind auf jedem der drei Kreise äquidistant. (Darüberhinaus kann es noch weitere zufällige Schnittpunkte der Kreise geben.)

Diagramm
Diagramm
Diagramm
Figure 4. Diagramm Ikosaeder mit Diedersymmetrie durch 4-farbige Kreiskonfiguration in 3 Ansichten

Hier kommt noch ein Beispiel mit trivialer Symmetriegruppe:

Diagramm
Diagramm
Figure 5. Diagramm Ikosaeder mit trivialer Symmetrie durch 4-farbige Kreiskonfiguration in 2 Ansichten

Strategie zur Berechnung von Ikosaedern (aus gleichseitigen Dreiecken)

$a,b,c$-Dreieck, falls die Quadratlängen der zu seinen Seiten orthogonalen Diagonalen die Werte a und b und c haben.

Es ist klar, dass die Kenntnis dieser Längen äquivalent ist zur Kenntnis der drei Flächenwinkel unseres Ausgangsdreiecks zu den benachbarten Dreiecken.

Übung:: Ist ein $a,b,c$-Dreieck gegeben, so gibt es für den jeweils dritten Eckpunkt eines der benachbarten Dreiecke höchstens zwei Möglichkeiten. Für jede Kombination dieser Möglichkeiten gibt es maximal 8 Ergänzungen durch anliegende Dreiecke. Wie sieht diese Betrachtung auf der Ebene der Gram-Matrizen aus?

Diese Übung kann man auch sehr schön mit Papiermodellen demonstrieren. Ebenso kann man demonstrieren, dass die alternative Vorgehensweise über Ecken statt Dreiecken nicht die erste Wahl sein sollte. Der Grund, warum es möglich erscheint, das für algebraische Rechnungen riesige Gleichungssystem zu lösen, ist dass es sich auf dem ersten Blick zwar sämtlich um quadratische Gleichungen handelt, von denen aber viele für die Gram-Matrix statt für die Koordinaten zu linearen Gleichungen werden. Außerdem ist bereits bei den Koordinaten eine wichtige Vereinfachung der Gleichungen zu beobachten: Aus vielen Paaren von quadratischen Gleichungen kann man eine lineare Gleichung herausziehen, weil die Vertizes sich immer als Schittpunkte von mehreren Kugeln ergeben und der Durchschnitt zweier Kugeln bereit eben ist.

Unsere Strategie zur Berechnung eines Ikosaeders, genauer seiner Gram-Matrix sieht nun folgendermaßen aus: Wir gehen aus von einem $a,b,c$-Dreieck, von dem wir sehen wollen, ob es tatsächlich Teil eines Ikosaeders ist. Falls ja, wollen wir alle diese Ikosaeder berechnen.

Algorithmus zur Bestimmung aller Ikosaeder mit einem vorgegebenen $a,b,c$-Dreieck:
  1. Unterteile die Indexmenge der Vertizes durch 1 | 2,3 | 4,6,7 | 5,8,11 | 9,10,12 gemäß dem Abdtand von Dreieck 1={1,2,3}

  2. Wähle V_1 als Bezugspunkt und fülle die erste Zeile und Spalte der Gram-Matrix M mit Nullen.

  3. Berücksichtige die 30 linearen Gleichungen aus den Quadratlängen der Kanten. (Beachte auch die Diagonale).

  4. Berücksichtige die 3 linearen Gleichungen aus den Quadratlängen a,b,c der orthogonalen Diagonalen zu den Seiten des 1. Dreiecks.

  5. Fülle die Teilmatrix zu ${2,3} \times {2,3}$ aus (eindeutig)

  6. Bestimme die Teilmatrix zu ${4,6,7} \times {2,3,4,6,7}$ weitgehend (meist eindeutig) durch Rangbedinung. Hier ergibt sich eine Aufspaltung, typischerweise in 8 oder 4 Fälle. Jeder Fall wird separat behandelt.

  7. Bestimme die Teilmatrix zu ${5,8,11} \times {2,3,4,6,7}$ durch lineare Gleichungen aus der Rangbedingung.

  8. Bestimme die Teilmatrix zu ${5,8,11} \times {5,8,11}$ durch Rangbedingung. (Weitere Aufspaltung)

  9. Bestimme die Teilmatrix zu ${9,10,12} \times {2,3,4,6,7}$ durch lineare Gleichungen aus der Rangbedingung.

  10. Bestimme die Teilmatrix zu ${9,10,12} \times {9,10,12}$ durch Rangbedingung.

Durch die mehrfachen Aufspaltungen wird der Algorithmus recht umständlich, wenn man ihn von Hand durchführt. Ich habe sowohl das Paket Involutive als auch Thomas benutzt, wie ja auch unser Vorgehen eine Synthese der beiden Philosophien ist. Sobald eine symmetrische Teilmatrix fertig bestimmt ist, muss überprüft werden, ob diese auch positiv definit vom Rang ⇐ 3 ist, bevor man weitermacht. Dadurch kann man sich ersparen, dass man nicht alle $4\times 4$-Minoren berechnen muss. Möglicherweise kann man dieses Vorgehen automatisieren.

Wie wenden wir den Algorithmus nun an? Wir gehen von einem $a,b,c$-Dreieck aus, von dem wir wissen, dass es tatsächlich vorkommt, etwa im regulären Ikosaeder oder einem anderen, den wir schon kennen, und rechnen dann alle Ikosaeder mit dem obigen Algorithmus aus, in denen dieses Dreieck vorkommt. Auf diese Weise bekommt man dann durch die neuen Ikosaeder $a,b,c$-Dreicke mit anderen a,b,c. Dies wiederholt man, bis es nichts neues mehr gibt. Als erste bekommen wir eine schärfere Fassung des Satzes S vom Anfang:

Satz Sf: Jedes der $a,b,c$-Dreiecke, die in den S-Ikosadern aus Satz S vorkommen, liefern uns durch Iteration des Algorithmus wieder sämtliche fünf Ikosaeder aus Satz S.

Ich habe das Experiment noch nicht mit den Galois-Konjugierten der S-Ikosaeder durchgeführt. Theoretisch besteht die Möglichkeit, dass sich dort neben diesen sich noch neue Lösungen zeigen.

Ein weiteres Experiment, welches ich nur sehr teilweise durchführt habe, ist aus den Flächenwinkeln, die in irgentwelchen Ikosaedern auftauchen, Werte für $a,b,c$ für Kandidaten von $a,b,c$-Dreiecken zu bekommen und diese mit dem ALgorithmus auszutesten. Dies ist aber meist ein sehr frustrierendes Geschäft.

Schließlich kann man sich noch Lösungen mit angemessen großer Automorphismengruppe direkt verschaffen und mit denen in den Algorithmus einsteigen. Hier habe ich ein Beispiel gefunden, dessen Galois-Konjugierte keine Lösungen mehr sind. (Die Galois-Konjugierten der Gram-Matrizen können indefinit oder komplex werden.)

Eine Strategie, die Sache zu einem halbwegs akzeptablen Abschluss zu bringen, ist gewisse numerische Lösungen aus BERTINI mit Modifikationen des obigen Algorithmus zu verarbeiten, indem man brauchbare algebraische Konsequenzen aus den numerischen Lösungen errät. Mit etwas Glück kann man dann die Vollständigkeit der Lösungen, auf die Vollständigkeit der Lösungsmenge aus BERTINI mit Hilfe der Gruppenoperation beweisen.

In der Anwendung des obigen Algorithmus ist noch die Frage interessant, wie oft man dieselbe Lösung erhält.

Übung: Sei für reelle Zahlen a,b,c ein $a,b,c$-Dreieck gegeben. Seien I_1, …, I_k eine Vertreterliste der Isomorphieklassen der Ikosaeder, bei denen dieses $a,b,c$-Dreieck vorkommt und für jede i =1, .., k sei v_i die Anzahl der Bahnen der Automorphismengruppe von $I_i$ auf der Menge seiner $a,b,c$-Dreiecke. Zeige: v_1+v_2+ …+v_k ist die Anzahl der Lösungen, die sich beim obigen Algorithmus für dieses $a,b,c$-Dreieck ergeben, genauer von hat v_i Lösungen isomorph zu I_i.

Invarianten für die Ikosaeder aus gleichseitigen Dreiecken

Sollten wir jemals mit unserer Klassifikation zu einem Ende kommen, stellt sich die Frage nach der Aufbereitung der Daten für eine Zusammenstellung und für die Wiedererkennung. Gewisse Invarianten haben wir schon gesehen, etwa die Eigenwerte der Gram-Matrix. Wir sind aber in der glücklichen Position, wo die Gram-Matrix sogar bis auf Konjugation mir einer Permutationsmatrix Bedeutung hat. So kann man die Werte auf der Diagonalen als Invarianten nehmen: Sie geben die Quadratabstände der Vertizes zum Schwerpunkt an. Herr Strzelczyk versucht etwas mit der Gram-Matrix der Normalenvektoren der Dreiecksseiten zu zaubern. Weitere Invarianten, die sich direkt aus der Gram-Matrix ergeben, ist die Liste der Qudaratlängen der zu den Kanten orthogonalen Diagonalen und die Liste der Quadratlängen von gegenüberliegenden Vertexpaaren, also solchen Vertizes, die kombinatorischen Abstand 3 haben. Man kann die Typen der Dreiecke aufzählen, man könnte auch Ähnliches mit den Vertizes machen. Ich gebe mal ein oder zwei Beispiele:

Sei

$ a:= \frac{3+\sqrt{5}}{2} \sim 2.618033988$
$ b:= \frac{15-3\sqrt{5}}{10} \sim 0.8291796069$
$ c:= \frac{7-3\sqrt{5}}{10} \sim  0.0291796069$
$ xi = 1/2+(1/2)*sqrt(5)+(2/5)*5^(3/4) \sim 2.955514598$
$am:= a-1$
  • aaa31, Regulärer Ikosaeder, Bahnlänge 1 , Typ 20a^3, 1 Diagonalwert mit Anzahl 12

    a, a, a, a, a, a, a, a, a, a,
    a, a, a, a, a, a, a, a, a, a,        1+a, 1+a, 1+a, 1+a, 1+a, 1+a
    a, a, a, a, a, a, a, a, a, a
    [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, a],
    [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, a],
    [a, a, a, a, a], [b, a, b, a, a], [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, a]
    [5/2+(1/2)*sqrt(5),  5/2+(1/2)*sqrt(5), 5/2+(1/2)*sqrt(5)], [3.021749195, 3.021749195, 3.021749195]
  • L10 alt, aab22, Bahnlänge 6, regulärer 2-fach eingedötscht bei Ecken vom kombiantorischen Abstand 3, Typ 20a^2 b, 2 Diagonalwerte mit Anzahlen 2, 10

    a, a, b, a, b, a, b, b, a, b,
    a, a, a, a, a, a, a, a, a, a,      1-a+2b  1+a, 1+a, 1+a, 1+a, 1+a  alt
    b, b, b, b, b, a, a, a, a, a
    a, a, b, b, a, a, a, a, b, a,
    a, a, b, a, b, a, a, b, a, b,      1+a,1+a,1+a,1+a,1-a+2*b,1+a
    a, a, b, a, a, b, a, a, a, b
    [a, a, b, a, b], [b, a, a, b, a], [b, a, a, b, a], [a, b, a, b, a],
    [a, a, a, a, a], [a, b, a, a, b], [a, a, a, a, a], [a, b, a, b, a],
    [a, b, a, a, b], [b, a, b, a, a], [a, b, a, b, a], [b, a, b, a, a]
  • L1 alt, a’a’xi842, Bahnlänge 12, Typ 5(a')2 xi + 5(am)2 xi' + 5 (a')2 xi' + 5(am)2 xi , 4 Diagonalwerte mit Anzahlen 1, 1, 5, 5, Gram-Matrix nicht absolut positiv semidefinit!

    a', a', xi, a', xi, a', xi, xi, a', xi,
    am, am, am, am, am, am, am, am, am, am,         a-2,a-2,a-2,a-2,a-2,a-2
    xi', xi', xi', xi', xi', a', a', a', a', a'
    [a', a', a', a', a'], [xi, a', xi, am, am], [xi, a', xi, am, am], [xi, a', xi, am, am],
    [xi, a', xi, am, am], [xi, a', xi, am, am], [am, am, xik, a', xi'], [am, am, xi', a', xi'],
    [am, am, xi', a', xi'], [am, am, xi', a', xi'], [am, am, xi', a', xi'], [a', a', a', a', a']
    [-2/3+(5/3)*sqrt(5), 5/2-(1/2)*sqrt(5), 5/2-(1/2)*sqrt(5)], [3.060113295, 1.381966012, 1.381966012]

Neben diesen eher offensichtlichen Zahlen will ich noch eine weitere Invariante angeben, die nur aus einer Zahl besteht: Das orientierte Volumen, genauer, das orientierte Volumen bis aufs Vorzeichen. Wir alle wissen, das im orientierten Euklidischen Raum durch die Determinante ein Volumen für Parallelepipede oder, wenn man durch die Fakultät der Dimension teilt, für Simplizes definiert ist. Da wir nur die Gram-Matrix als Daten zur Verfügung haben, können wir über das Vorzeichen nichts sagen, weil wir zwei verschiedene Realisierungen im Raum bekommen, die sich durch uneigentliche Bewegungen ineinander überführen lassen. Was noch schlimmer ist, ist der Umstand, dass wir es ja nicht mit einem einzelnen Simplex zu tun haben, sondern mit einem Polyeder, der sich meist selbst durchdringt. Wenn wir ihn in irgendeiner Weise durch (sich möglicherweise gegenseitig durchdringende) Simplizes darstellen, muss sichergestellt sein, dass das Volumen, welches sich aus dem Inklusions-Exklusionsprinzip aufgrund der verschiedenen Orientierungen ergibt, unabhängig ist, von der Wahl der Ikosaeder. Dass dies funktioniert ist dargelegt in einem Übersichtsartikel von I. Kh. Sabitov.
[Sabitov, I. Kh. Algebraic methods for the solution of polyhedra. (Russian) Uspekhi Mat. Nauk 66 (2011), no. 3(399), 3—66; translation in Russian Math. Surveys 66 (2011), no. 3, 445–505]
Was noch fehlt für die praktische Rechnung, ist eine Orientierung der Dreiecke der simplizialen Fläche auf der kombinatorischen Seite und auf der algebraischen Seite eine Basis mit Determinante, sodass das quadrierte Volumen mit der Determinante der Gram-Matrix bezüglich der gewählen Basis übereinstimmt.

Übung: Man zeige, dass die folgende Liste von Dreizyklen der Ecken des Ikosaeders eine Orientierung des Ikosaeders liefert:

[[ 1, 3, 2], [ 1, 2, 4], [ 1,  4, 5], [ 1,  5,  6], [ 1,  6,  3],
 [ 3, 7, 2], [ 2, 8, 4], [ 4,  9, 5], [ 5, 10,  6], [ 6, 11,  3],
 [ 7, 8, 2], [ 8, 9, 4], [ 9, 10, 5], [10, 11,  6], [11,  7,  3],
 [12, 8, 7], [12, 9, 8], [12, 10, 9], [12, 11, 10], [12,  7, 11]]

Was die kompatible Berechnung der orientierten Volumina der einzelnen Simplizes angeht, verweisen wir auf den obigen Satz über die Spektralanalyse der Gram-Matrix als theoretische Grundlage und überlassen die Einzelheiten dem Leser.